在前面的例子中“绘制 $n$ 个正 $n$ 边形”，如果有一个代码模块能够帮助我们绘制一个正 $n$ 边形，那么“绘制 $n$ 个正 $n$ 边形”的代码会很简洁，这个代码模块就是函数，一些常用的功能，前人已经编写了函数并封装到不同的库中（头文件），如果用户想自己做一个自己需要的函数，那可以自己定义函数，然后再调用。

定义函数基本格式如下：

函数返回值类型 函数名（[形式参数列表]）

{

​ 功能语句；

​ ...

​ [return 返回值]

}

注意：定义函数必须放到主函数外面，上述定义函数框架中 [...]为可以选项。

以“绘制 $n$ 个正 $n$ 边形”为例，利用自定义函数，参考代码如下：

void draw(int m)                //定义一个函数，函数名draw ,绘制一个正m边形
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
		pen.fd(1000.0/m).rt(360.0/m);
}
int main()
{
    int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		draw(n);                //调用函数,draw为自定义函数，功能是绘制一个正n边形 
		pen.rt(360.0/n);
	}
    return 0;
}

程序运行时，每次调用 $draw$ 函数，会将实参 $n$ 单向复制给形参 $m$，自定义的函数 $draw$，就负责绘制一个正 $m$ 边形，从而使得代码逻辑更加清晰，大型程序要实现多种功能，都会将复杂任务分解成很多小任务，然后交给不同函数执行，便于维护，关于详细函数使用细节可以查看后面系统对应章节。

主函数可以调用子函数，子函数之间也可以相互调用，当一个子函数直接或间接调用自己，这就是递归，也被叫做迭代。如果一个问题可以分解成一个或多个子问题，子问题又与原问题具有相似的结构，那就可以用递归来处理（自己调用自己），当然不能无限递归下去，到达一定程度需要返回，否则时间和空间都可能爆炸（递归使用栈空间，每递归一层，就会扩大一层的空间）。

自然界会发现大量整体与部分具有相似性的形态，例如雪花、树冠、花菜、大脑皮层、粒子的布朗运动等，数学上称之为分形，是非线性科学前言和重要分支。瑞典数学家柯赫构造的 “Koch曲线”、波兰数学家提出的“谢尔宾斯基三角形”都是典型的分形图，分形图由于整体与部分具有相似性，这与递归在本质上是相通的，那么就可以利用递归绘制出各种分形图来。

瑞典数学家海里格·冯·科赫在 1904 构造的 “Koch曲线”，也叫雪花曲线。三次 Koch 曲线的构造过程主要分为三大步骤：

第 $1$ 步:绘制一条线段；第 $2$ 步:将这条线段中间的 $1/3$ 处向外折起（内角为 $60$ 度）；第 $3$ 步:按照第 $2$ 步的方法不断的把各段线段中间的 $1/3$ 处向外折起。这样无限的进行下去，最终即可构造出 Koch 曲线。下图就是迭代了 $4$ 次得到的“ Koch 曲线”：

迭代 4 次“Koch曲线”

三角形三边按照上述方法迭代下去，就构成了"科赫雪花"，Koch 曲线长度是无限的，"科赫雪花"面积有限，这就得到了数学上的一个悖论："无穷大"的边界，包围着有限的面积。

例1：请利用计算机绘制"科赫雪花"。

分析："科赫雪花"是由一个三角形构成，各边是 Koch 曲线，Koch 曲线可以用用递归生成，当长度小于 $3$，返回。

void draw(double length)  //绘制Koch曲线
{
	if(length<5)
	{
		pen.fd(length);
		return;
	}
	draw(length/3);
	pen.lt(60);
	draw(length/3);
	pen.rt(120);
	draw(length/3);
	pen.lt(60);
	draw(length/3);	
}
int main()
{
	pen.move(-100,-100);
	pen.rt(30); 
	for(int i=1;i<=3;i++)   //绘制三角形
	{
		draw(300);      //三角形各边为Koch曲线
		pen.rt(120);
	}
    return 0;
}

可以得到科赫雪花图像如下：

科赫雪花图像

例2：绘制“谢尔宾斯基三角形” 分形

谢尔宾斯基三角形（英语：Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出。其构造方法比较多，其中一种构造过程如下：

第 $1$ 步.取一个三角形，使用等边三角形；第 $2$ 步沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形。第 $3$ 步.去掉中间的那一个小三角形。

对其余三个小三角形重复上述 $3$ 个过程，如下图：

谢尔宾斯基三角形

分析：观察上图中前两步，找到一种简单的规律，先绘制一个小三角形（边长为大三角形边长的一半），画笔必然回到原位置，让画笔往前移动（大三角形边长），然后画笔再向右旋转 120 度，后面都是重复这个过程，重复 $3$ 次，采用递归绘制每一个小三角形，当边长小于一定值（再绘制也看不到细节了），返回。

void draw(double length)
{
	if(length<3)return;
	for(int i=1;i<=3;i++)
	{
		draw(length/2);
		pen.fd(length);
		pen.lt(120);
	}
}

int main()
{
    pen.move(-100,-100);
	pen.rt(90);
	draw(300);	
    return 0;
}

可以得到谢尔宾斯基三角形：

谢尔宾斯基三角形

拓展：绘制其他分形图。