在讨论概率之前，有必要对事件做一点了解。随机试验指的是在相同的条件下，对某个随机现象进行大量重复观测。随机试验可以在相同条件下重复进行；随机试验出现的所有可能结果不止一个，但都事先已知；每次实验总是出现可能的结果之一，但实验前无法预知得到哪一种结果。

抛硬币是随机试验，因为可以重复抛这枚硬币很多次；可能的实验结果是“正面朝上”或“反面朝上”，不存在其他结果；每次抛硬币前所有人都不知道这次是正面朝上，还是反面朝上。生孩子也可以视为随机试验。

样本空间、随机事件

抛硬币有正面、反面朝上两种结果。生孩子有男、女两种结果。一个随机实验中可能发生的不能再细分的结果被称为基本事件，也称为样本点，通常用 $e$ 来表示。所有样本点的集合称为样本空间，通常用 $\Omega$ 来表示。

将一枚硬币连续抛两次，一共四种可能：正正、正反、反正、反反。于是写出基本事件(样本点)：

$e_1=(正，正)，e_2=(正，反)，e_3=(反，正)，e_4=(反，反)$

样本空间就是上述所有样本点的集合有 $\Omega={e_1,e_2,e_3,e_4}$.

随机试验出现的结果并不保证是有限的。例如，在区间 $[0,1]$ 中随机取一个点，每一个实数都对应一个基本事件；样本空间是 $\{x\in \R |0 \le x \le 1\}$ , 是无限的，其中的样本个数比所有自然数的个数还要多！

基本事件（样本点）是概率论中的“原子”，可以构建出其他事件。例如，抛两次硬币，“其中有一次正面朝上”，它就包含了两个事件 $\{e_2,e_3\}$ ；从区间 $[0,1]$ 取数，“取出的数小于 0.5 ” ，也包含了无穷个基本事件。

为了刻画这些“包含了很多个基本事件的事件，定义随机事件的概念：随机事件 $A$ 是样本空间 $\Omega$ 的一个子集。当且仅当 $A$ 中的某个基本事件发生，说事件 $A$ 发生。

一个 随机事件 是样本空间 $\Omega$ 的子集，它由若干样本点构成，用大写字母 $A, B, C, \cdots$ 表示。

• 若 $A=\Omega$ ，则称 A 是必然事件
• 若 $A=\emptyset$ , 则称 A 是不可能事件

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事件的关系

两个随机事件之间可以有各种各样的关系。

• 包含关系：通常用符号 ${\displaystyle\subset}$ 表示。一个事件 $A$ 包含另一个事件 $B$ 记作：${B\subset A}$ 。这时只要事件 $B$ 发生，那么事件 $A$ 也一定发生。这个关系其实就是集合论中的包含关系。

• 等价关系：两个事件对应的子集完全相等，记作 $A=B$。

• 对立关系：两个事件只能有一个发生，并且必然有一个发生，则它们是对立关系。这种关系对应的集合论术语是“补集”。

• 互斥关系：两个事件只能有一个发生，但并不必然有一个发生。这时也称两个事件之间是互不相容的。

特别需要注意区别独立事件:

独立事件

如果两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，那么就称这两个事件是相互独立的。比如说，“抽到的牌是红桃”和“抽到的牌数字是4”就是相互独立的。独立事件强调两个事件之间没有关联，互不影响。

独立事件与互斥事件不同：

• 若 $P(A)×P(B)=P(AB)$，则事件 $A$ 和事件 $B$ 为相互独立事件
• 若 $A、B$ 为互斥事件，则 $A∩B=∅$ ，则 $A、B$ 同时发生的可能性为 $0$ , 若 $A、B$ 为互斥事件，$A$ 和 $B$ 发生的概率 $P(A+B)=P(A)+P(B)$

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事件的运算

由于我们将随机事件定义为了样本空间 $\Omega$ 的子集，故我们可以将集合的运算（如交、并、补等）移植到随机事件上。记号与集合运算保持一致。

• 事件 ${A\cup B}$：是事件 $A$ 和事件 $B$ 的和事件（并事件），指的是事件“事件 $A$ 发生或者事件 $B$ 发生”。

• 事件 $A\cap B$：是事件 $A$ 和事件 $B$ 的积事件（交事件），指的是事件“事件 $A$ 发生且事件 $B$ 发生”。

• 事件 $A-B$：是事件 $A$ 和事件 $B$ 的差事件，指的是事件“事件 $A$ 发生且事件 $B$ 不发生”。

特别的，事件的并 $A \cup B$ 也可记作 $A + B$，事件的交 $A \cap B$ 也可记作 $AB$，此时也可分别称作 和事件 和 积事件。

集合的交和并运算，是可以通过补运算来相互转化的。这就是大名鼎鼎的摩根定律：

$$\overline{ A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B}$$ $$\overline{A \cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$$

在概率运算时，还有：

• $P(A\mid B)$ ：指的是“设 $A$ 与 $B$ 为样本空间 $Ω$ 中的两个事件，其中 $P(B)>0$。那么在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的条件概率”

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概率

概率，是对随机事件发生之可能性的度量，为数学概率论的基本概念；概率的值是一个在 $0$ 到 $1$ 之间的实数，也常以百分数来表示。

古典定义

在概率论早期实践中，由于涉及到的随机现象都比较简单，具体表现为样本空间 $\Omega$ 是有限集，且直观上所有样本点是等可能出现的，因此人们便总结出了下述定义：

如果一个随机试验满足：

• 只有有限个基本结果；
• 每个基本结果出现的可能性是一样的；

那么对于每个事件 $A$ 的概率定义为：

$$P(A)=\frac{A包含的基本事件个数}{基本事件的总数}$$

后来人们发现这一定义可以直接推广到 $\Omega$ 无限的一部分情景中，于是就有了所谓 几何概型。

公理化定义

古典概率定义存在循环定义。上述基于直观认识的定义在逻辑上有一个很大的漏洞：在定义「概率」这一概念时用到了「可能性」这一说法，产生了循环定义的问题。同时「等可能」在样本空间无限时会产生歧义，由此产生了包括 Bertrand 悖论 在内的一系列问题。

经过不断探索，苏联数学家柯尔莫哥洛夫于 1933 年在他的《概率论基础》一书中第一次给出了概率的公理化定义：

设随机事件的样本空间为 $Ω$ ，$Ω$ 的一个子集称为事件。对于 $Ω$ 中的每一个事件 $A$，都有实函数 $P(A)$，满足：

• 非负性：$P(A)\geq 0$
• 规范性：$P(\Omega )=1$
• 可数可加性：对可数个两两互斥事件 $\{A_i\}_{i \in N}$ 有：

$\sum _{i=1}^{ \infty }P(A_i)=$ $P \left ( \bigcup _{i=1}^{ \infty }A_{i}\right)$

任意一个满足上述条件的函数 $P$ 都可以作为样本空间 $Ω$ 的概率函数，称函数值 $P(A)$ 为 $Ω$ 中事件 $A$ 的概率。

条件概率与独立性

当某事件已经发生时，一些随机事件的概率会因为已知信息的增加发生变化。研究在某些已知条件下事件发生的概率是必要的。

条件概率：若已知事件 $A$ 发生，在此条件下事件 $B$ 发生的概率称为 条件概率，记作 $P(B|A)$.

若事件 $A$ 满足 $P(A) > 0$ ，则条件概率 $P(B|A)$ 定义为 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ .

根据定义式可以推出下面两个等式：

• 概率乘法公式: 若 $P(A) > 0$，则对任意事件 $B$ 都有 $P(AB)=P(A)P(B|A)$
• 全概率公式：若一组事件 $A_1, \cdots, A_n$ 两两不交且和为 $\Omega$ ，则对任意事件 $B$ 都有
• $$P(B)=\sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$

贝叶斯公式

一般来说，设可能导致事件 $B$ 发生的原因为 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ ，则在 $P(A_i)$ 和 $P(B|A_i)$ 已知时可以通过全概率公式计算事件 $B$ 发生的概率。但在很多情况下，我们需要根据「事件 $B$ 发生」这一结果反推其各个原因事件的发生概率。于是有

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(A_j)P(B|A_j)} $$

上式即贝叶斯公式( Bayes 公式)。

多数情况，$A$ 是原因，现在知道结果 $B$ 发生的概率，反过来求 $A$ 发生的概率，使用条件概率公式直接推导：

$$P(A|B)=\frac{P(A \bigcap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} $$

这在实际生活中非常有用。假设某种疾病在一般人群中发病率是 $0.01\%$ ,而某种检测方式可以检测这种疾病，如果某人患病，则检测阳性的概率是 $99\%$ ; 如果没有患病，则检测出阳性的概率是 $1\%$ 。现在某人检测阳性，问他真的患上该病的概率？

分析： 常理来讲，患病有 $99\%$ 的概率检测呈阳性，且健康人被检测出阳性的概率只有 $1\%$ ,我们会不假思索就认为这人真患病的可能性大。但是计算一下：

$P(患病|检测阳性)=\frac{P(检测阳性|患病)P(患病)}{P(检测阳性)}$
$=\frac{99\% \times 0.01\%}{99\%\times0.01\%+1\% \times 99.99\%}$
$\approx 0.0098$

原来真的患病概率还不到 $1\%$ ,这是该检验方法过高的假阳性率导致的。 上面的计算中对分母的处理方式，即认为 $P(检测阳性)=P(检测阳性且患病)+P(检测阳性且不患病)$ 是没有问题的，因为患病和不患病是互斥事件。事实上，我们经常使用这种方式来计算贝叶斯公式中的分母。

概率计算总结

事件	概率
$A$	$P(A)\in [0,1]$
$非A$	$P(\bar{A})=1-P(A)$
$A或B$	$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A \bigcap B)$ $A与B 互斥,P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)$
$A和B$	$P(A \bigcap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$ $A和B独立，P(A\bigcap B)=P(A)P(B)$
$B发生的情况下A发生的概率$	$P(A|B)=\frac{P(A \bigcap B)}{P(B)}$=$\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

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习题1： 请解决以下和事件相关的问题

1. 连续抛两次骰子，每个骰子出现点数 $1$ 到 $6$ 的可能性相等。请写出“点数之和为 $10$ ”这个事件包括的所有基本事件。

2. 从 $1$ 到 $10$ 中等概率选取一个数，请写出“取出的数是质数”这个事件所包含的所有样本点。

3. 今有甲乙丙三人，心里随便想一个自然数，想出一个奇数或者一个偶数的可能性相同，然后报出来。关注他们三个人想的数的奇偶性，请写出“甲想的数的奇偶性与乙相同”这个事件所包含的全部基本事件。

习题2：

根据事件的运算原理，请思考以下问题，可以举一些例子来验证你的判断。

1. 互斥事件一定是对立事件吗？
2. 对立事件一定互斥吗？
3. 如果 $A,B$ 互斥，那么 $\bar{A}$ 与 $B$ 是否一定不互斥？
4. 交运算是否符合交换律、结合律？
5. 并运算是否符合交换律、结合律？
6. $A\bigcup (B\bigcap C)$ 是否等于 $(A\bigcup B)\bigcap(A\bigcup C)$ ？
7. $A\bigcap (B\bigcup C)$ 是否等于 $(A\bigcap B)\bigcup(A\bigcap C)$
8. $A\bigcap B$ 是否等于 $A+\bar{A}B$ ?
9. $A$ 是否等于 $AB+A\bar{B}$ ?

习题3：计算以下概率期望相关的题目

1. （NOIP2017 普及组初赛）一家四口人，至少两个人生日属于同一个月份的概率是（）。（假定每个人生日属于每个月份的概率相同且不同人之间相互独立）。

2. （NOIP2017 提高组初赛）小明要去南美洲旅游，一共乘坐三趟航班才能到达目的地，其中第 $1$ 个航班准点的概率是 $0.9$，第 $2$ 个航班准点的概率是 $0.8$ ，第 $3$ 个航班准点概率为 $0.9$ 。如果存在第 $i$ 个（$i=1,2$）航班晚点，第 $i+1$ 个航班准点，则小明将赶不上第 $i+1$ 个航班，旅行失败；除了这种情况，其他情况下旅行都能成功。请问小明此次旅行成功的概率是（）。

3. （NOIP2017 提高组初赛）儿童游乐场有个游戏叫“欢乐喷泉”，正方形场地中心能不断喷出彩色乒乓球，以场地中心为圆心还有一个圆形轨道，轨道上有一列小火车匀速运动，火车有六节车厢，如下图所示。

   假设乒乓球等概率落到正方形场地的每个地点，包括火车车厢。小朋友玩这个游戏时，只能坐在同一个火车车厢里，可以在自己的车厢里捡落在该车厢内的所有乒乓球，每个人每次游戏有三分钟时间，则一个小朋友独自玩一次游戏期望可以得到（ ）个乒乓球。假设乒乓球喷出的速度为 $2$ 个/秒，每节车厢的面积是整个场地面积的 $\frac{1}{20}$ 。

4. （NOIP2018 提高组初赛）假设一台抽奖机中有红、蓝两色的球，任意时刻按下抽奖按钮，都会等概率获得红球或篮球之一。有足够多的人每人都用这台抽奖机抽奖，假如他们的策略均为：抽中蓝球则继续抽球，抽中红球则停止。最后每个人都把自己获得的所有球放到一个大箱子里，最终大箱子里的红球和篮球比例接近于（ ）。

5. （NOIP2018提高组初赛）在一条长度为 $1$ 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是（ ）。

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学习完毕

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