数学期望

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望”所期望的数。期望可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望是该变量输出值的加权平均。期望并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。

例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望是 $3.5$，计算如下：

$$E(X)=1\cdot {\frac {1}{6}}+ 2\cdot {\frac {1}{6}}+ 3\cdot {\frac {1}{6}}+ 4\cdot {\frac {1} {6}}+ 5\cdot {\frac {1}{6}}+ 6\cdot {\frac {1}{6}} = \frac {1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$$

不过如上所说明的，$3.5$ 虽是“点数”的期望，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。

1. 随机变量

在样本空间 $S$ 上的一个随机变量 $X$ 是 $S$ 上的一个取值为实数的函数。 只取有限个或者可数无穷多个值的随机变量。

例如，假设 $X$ 是表示骰子点数的随机变量。那么对于一个公平的骰子来说，$P(X=1)=\frac{1}{6}$

2. 数学期望

   对于取值有限的离散型随机变量 $X$, 假设 $X$ 有概率分布 $p_j=P(X=x_j)$, 则称 $E(X)=\sum_{j=1}^{n}x_jp_j$ 为 $X$ 的数学期望，其中 $n$ 为 $X$ 不同取值的个数。

   连续型随机变量: 设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$。若积分 $\int_{\mathbb{R}} xf(x) \text{d} x$ 绝对收敛，则称其值为 $X$ 的 期望，记作 $E(X)$。

性质

1. 期望的线性性 若随机变量 $X, Y$ 的期望存在，则对任意实数 $a, b$，有

$$E(aX + b) = a \cdot E(X) + b$$ $$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$

2. 随机变量乘积的期望

   若随机变量 $X,Y$ 的期望存在且 $X,Y$ 相互独立，则有

   $$E(XY)=E(X)E(Y)$$

   注意：上述性质中的独立性 并非 必要条件。反例，考察随机变量 $X$ 和 $Y$，其中 $X$ 服从 $[-1, 1]$ 上的均匀分布，$Y = X^2$。

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方差

定义

设随机变量 $X$ 的期望 $EX$ 存在且期望 $E(X - EX)^2$ 也存在，则称上式的值为随机变量 $X$ 的 方差，记作 $DX$ 或 $Var(x)$。方差的算术平方根称为 标准差，记作 $\sigma(X) = \sqrt{DX}$。

方差的性质

若随机变量 $X$ 的方差存在，则对任意常数 $a, b$ 都有

$$D(aX + b) = a^2 \cdot DX$$ $$DX = E(X^2) - (EX)^2$$

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概率分布

概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律。

1. 二项分布

   这个分布源于投硬币 $n$ 次, 假设每一次有 $p$ 的概率正面朝上，那么这 $n$ 次中总共出现 $k$ 次正面朝上的概率。也可以解释为有一个事件 $A$ ,它发生的概率为 $p$ ,进行 $n$ 次实验，事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率。

   二项分布的概率函数满足

   $$p(k)=C_n^kp^k(1-p)^k$$

   称为以 n,p 为参数的二项分布。

   随机变量 X 表示 n 次实验中正面朝上的次数，由期望的线性得到

   $$E(X)=E_1(X)+\dots+E_n(X)=n(0*(1-p)+1*p)=np$$

   其中 $E_i(X)$ 表示第 $i$ 次朝上的期望。

   $X$ 的方差 $Var(x)=np(1-p)$

2. 几何分布

   这个分布源于投硬币 $n$ 次，假设每一次有 $p$ 的概率正面朝上，直到第 $k$ 次才投出正面的概率。也可以解释为，一个事件 $A$ 发生概率为 $p$ ，第 $k$ 次实验事件才发生的概率。 概率函数满足：

   $$p(k)=p(1-p)^{k-1}$$

   称为参赛为 $p$ 的几何分布。

   随机变量 $X$ 表示第一次朝上时掷了多少次，可以通过递归的思路列出方程求解

   $E(X)=p+(1-p)(E(x)+1)$

   解的期望为 $E(x)=\frac{1}{p}$ , $X$ 的方差 $Var(x)=\frac{1-p}{p^2}$

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