行列式，记作 $\det(A)$ 或 $|A|$ ,是一个方块矩阵上计算得到的标量。行列式可以看作有向面积或体积的概念在欧几里得空间中的推广，行列式在线性代数、多项式理论，作为基本数学工具有着重要应用。

直观定义

一个 $n$ 阶方块矩阵 $A$ 的行列式可以直观定义如下：

$$\det(A)=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & \dots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{(𝑗_1𝑗_2⋯𝑗_𝑛)\in 𝑆_𝑛} (-1)^{\pi (j_1j_2j_3 \dots j_n)}{a_{1j_1}a_{2j_2}\dots a_{nj_n}}$$

其中 $S_n$ 是全体长度为 $n$ 的全排列构成的集合, 记号 $\pi(j_1j_2\cdots j_n)$ 表示排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数。

例如二阶、三阶行列式，可以得到：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

对于二阶、三阶行列式适用于对角线法则，本质就是行列式的直观定义，但是对于四阶就不适用了。

注意：行列式这种直观定义，时间复杂度也为阶乘量级，不适合用于计算。我们往往利用行列式的性质，利用转换为三角矩阵求解行列式的值。

代数展开

代数余子式

• 对于 n 阶行列式 $\det(A)$ ，某一元素 $a_{ij}$ 的余子阵 $M_{ij}$ 指的是原矩阵 $A$ 中，划去 $a_{ij}$ 所在的行和列后，余下的 $𝑛 −1$ 阶子矩阵；其行列式 $\det M_{ij}$ 称为余子式。
• 对于 $n$ 阶行列式 $\det (A)$，元素 $a_{ij}$ 的余子式 $\det M_{ij}$ 附以符号 ${(-1)}^{i+j}$ 之后，叫做元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，用符号 $A_{ij}$ 表示。

代数展开式

行列式 $\det(A)$ 定义为它任意一行（或一列）的所有元素与它们的对应代数余子式乘积的和。

$$\det⁡(𝐴) =𝑎_{𝑖1}𝐴_{𝑖1}+𝑎_{𝑖2}𝐴_{𝑖2}+⋯+𝑎_{𝑖𝑛}𝐴_{𝑖𝑛} =\sum_{j=1}^n 𝑎_{𝑖𝑗}𝐴_{𝑖𝑗} =\sum_{j=1}^n (−1)^{𝑖+𝑗}𝑎_{𝑖𝑗}\det(⁡𝑀_𝑖𝑗)$$

行列式性质

• 1. 行列式与转置相等
  $$\det (A^T) =\det(A)$$
• 2. 可逆性判据
  $$A 可逆 \Longleftrightarrow \det(A) \ne 0$$
• 3. 乘法性质$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$
• 4. 逆矩阵的行列式 若 $A$ 可逆，则 $\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}$

• 5. 分块矩阵的行列式

     对于分块矩阵：$\det\begin{pmatrix} A & B\\ 0 & D \end{pmatrix} = \det(A)\det(D)$ , 其中 $A$,$D$ 为方阵。

初等行（列）变换性质

• 在行列式中，一行（列）元素全为 $0$ ，则此行列式的值为 $0$

  

• 在行列式中，某一行（列）有公因子 ${\displaystyle k}$ ，则可以提出 ${\displaystyle k}$

  

• 在行列式中，某一行（列）的每个元素是两数之和，则此行列式可拆分为两个相加的行列式

  

• 行列式中的两行（列）互换，改变行列式正负符号

  

• 在行列式中，有两行（列）对应成比例或相同，则此行列式的值为 0

  

• 将一行（列）的 ${\displaystyle k}$ 倍加进另一行（列）里，行列式的值不变

  

  注意：一行（列）的 ${\displaystyle k}$ 倍加上另一行（列），行列式的值改变。

  

• 将行列式的行列互换，行列式的值不变，其中行列互换相当于转置。这个性质可以简单地记作 $|D|=|D^{T}|$

  

计算行列式

利用以上性质，对矩阵应用高斯消元之后，我们可以得到一个对角线矩阵，此矩阵的行列式由对角线元素之积所决定。

P7112 【模板】行列式求值

根据行列式的定义，行列式具有很多性质，我们可以将矩阵转换为对角矩阵，对角线元素之积就是行列式的值。

• 矩阵行（列）交换，行列式取反；

• 矩阵行（列）所有元素乘以 $k$ ,将其加入另外一行（列），行列式不变；

• 矩阵行（列）所有元素同时乘以数 $𝑘$，行列式等比例乘以 $k$ 。

克莱姆法则

对于线性方程组 $Ax=b$，如果 $A$ 可逆 $(\det(A)\ne 0)$ ，则其唯一解可以用行列式表示：

​$$x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)},j=1,2,…,n$$

其中 $A_j$ 是将 $A$ 的第 $j$ 列替换为向量 $b$ 后得到的矩阵。

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参考资料：

1. wiki 行列式

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