Update：2025.5.25

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树状数组是基于二进制划分与倍增的思想，线段树基于分治的思想。之所以能够高效修改和查询，就是把序列分成了大大小小的“段”，花费额外（增加空间，空间换时间）的代价对这些“段”管理的信息进行记录和更新，查询一个区间的信息，可以将这个区间分成几个已有的“段”结合，从而提高效率。

树状数组和线段树也有缺点，当需要维护一些不满足区间可加性、可减性信息时显得吃力，代码也不直观，需要深入理解并注意很多细节。

当维护的信息不满足区间合并性，例如区间众数，要提高效率，就需要对序列进行分块，分块的基本思想就是“大段维护，局部暴力”，预处理一些信息并保存起来，用空间换时间，分块更加通用、容易实现。

经典例题：

例1： 数列分块入门 1

题意：给出一个长为 $n(1 \le n\le 50000)$ 的数列，以及 $n$ 个操作，操作涉及区间加法，单点查值。

分析：可以利用树状数组和线段树在 $O(N\log{N})$ 的时间解决，现在我们使用分块解决本问题。

首先我们设块长为 $L$，那么块的个数就是 $t=\left \lceil n/L \right \rceil \approx n/L$ 。对于任意一个区间 $(l,r)$，区间内整段只需要对其 $lazy$ 标记数组修改，对于开头、结尾不足整段的部分进行朴素修改，单次区间修改复杂度可以表示为 $O(L+t)$，那么根据不等式的性质:

$$L+t=L+n/L \ge 2 \times \sqrt{L*(n/L)}=2\sqrt{n}$$

当 $L=n/L$ 时，不等式等号成立，即 $L=\sqrt{n}$ 。

$n$ 次修改复杂度为 $O(n\sqrt{n})$, 单点询问复杂度 $O(1)$.

参考代码：点击

例2： 数列分块入门 2

题意：给出一个长为 $n(1 \le n\le 50000)$ 的数列，以及 $n$ 个操作，操作涉及区间加法，询问区间内小于某个值 $x$ 的元素个数。

分析：询问区间内小于 $x$ 的个数，如果不带修改，可以利用主席树解决，带上修改后，主席树维护起来也很困难，考虑使用分块。

分块后，可以将块内元素排序（不破坏原序列，使用辅助数组 或 vector），当询问时，整块内可以二分查找快速解决，开头和结尾部分朴素查询，那么单次询问复杂度就是 $O(L+t*\log{L})$ .

区间修改，对于整块，直接修改 $lazy$ 标记，开头和结尾部分朴素修改，然后重构辅助数组。

参考代码：点击

例3：P4168蒲公英

题意：给定一个长度为 $n$ 的序列， $m$ 次询问区间众数。$(1 \leq n \leq 40000,1 \leq m \leq 50000,1S,512M)$

本题是经典的在线求区间众数的问题(不修改，只询问,在线)。区间众数不具有“区间可加性”，用树状数组、线段树维护就很困难。可以用分块加上计数桶数组的思想解决。

定义 $s[i][j]$ 前 $i$ 块 $j$ 出现的次数,$f[i][j]$ 第i块到第j块的众数，提前预处理计算出这两个数组，时间复杂度$O(\sqrt{N}|a_i|+\sqrt{N}\times \sqrt{N} \times \sqrt{N})$,$|a_i|$ 表示 $a_i$ 的值域，离散化后就是 $N$

需要使用一个临时计数数组 $t[j]$ 记录 $j$ 出现的次数。为了清零，不要每次使用的时候都memset，使用完后，修改了那一段整队那一段清零。

询问$[l,r]$区间众数，如果 $p=l/len,q=r/len$( $p$,$q$ 表示所处的块编号)，第 $p+1$ 到 $q-1$ 块是整段包含的，众数就是 $f[i][j]$, 局部$[l，ed[p])$和$[st[q],r]$扫描每一个数，计算其出现的次数，保留出现次数最多的数就是答案，查询时间复杂度就是 $O(m \times ( \sqrt{N}+ \sqrt{N}))$

参考代码：点击

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其他例题：

P3372 【模板】线段树 1

//分块实现区间修改、区间查询
//线段树模板-1
 
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int T=1000;
int n,m,a[N],belong[N];
int t,len; //t块 =ceil(sqrt(t))
long long  sum[T],add[T],st[T],ed[T];
//belong[i] 表示a[i] 处于第几块
//st[t]、ed[t] 表示第t快左端点、右端点 对应原数组下标 
void init()
{
	len=sqrt(n);
	t=len;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		st[i]=(i-1)*len+1;
		ed[i]=i*len;
	}
	if(ed[t]<n)
	{
		t++;
		st[t]=ed[t-1]+1;
		ed[t]=n;
	}
	for(int i=1;i<=t;i++)
		for(int j=st[i];j<=ed[i];j++)
		{
			belong[j]=i;
			sum[i]+=a[j];
		}	
}
void modify(int l,int r,int d)
{
	int p=belong[l],q=belong[r];
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=d;
		sum[p]+=(r-l+1)*d;
	}
	else 
	{
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)add[i]+=d;
		
		for(int i=l;i<=ed[p];i++)a[i]+=d;
		sum[p]+=(ed[p]-l+1)*d;
        
		for(int i=st[q];i<=r;i++)a[i]+=d;
		sum[q]+=(r-st[q]+1)*d;
	}
}
long long query(int l,int r)
{
	int p=belong[l],q=belong[r];
	long long ret=0;
	if(p==q)
	{
		for(int i=l;i<=r;i++)ret+=a[i];
		ret+=(r-l+1)*add[p];
	}
	else
	{
		for(int i=p+1;i<=q-1;i++)ret+=sum[i]+add[i]*(ed[i]-st[i]+1);
		for(int i=l;i<=ed[p];i++)ret+=a[i];
		ret+=add[p]*(ed[p]-l+1);
		for(int i=st[q];i<=r;i++)ret+=a[i];
		ret+=add[q]*(r-st[q]+1);
	}
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",a+i);
	
	init();
	
	while(m--)
	{
		int op,x,y,k;
		scanf("%d",&op);
		if(op==1)
		{
			scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
			modify(x,y,k);
		}
		else 
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			printf("%lld\n",query(x,y));
		}		
	} 
	return 0;
}

P2801教主的魔法

题意：两种操作：

1.给区间$[l,r]$加一个数$c$;

2.查询区间$[l,r]$大于等于$c$的个数

分析：可以使用分块，每一块内排序，块内是有序的，可以利用二分查找，找的大于等于$c$的个数,但是又不能在原始序列上排序，否则修改的到块的内部，就没办法修改了，可以利用增加一个辅助数组，长度与原始数组相等，在辅助数组内进行排序。 假如分成$num$块,则块长度为$n/num$,块内直接暴力修改、查询，块整体修改，只需要在“增量数组”上修改就可以了，查询的时候在辅助有序数组上二分查找。q次修改、查询，时间复杂度就为：$O(q\sqrt{n} \log_{}{n})$

参考代码： 点击

本质就是区间第 $k$ 大问题,对于静态区间第 $k$ 大，使用可持久化线段树效率更高，具体可以参考 线段树2。

P4135作诗

题意：给定长度为 $n$ 的整数序列，$m$ 次询问区间 $[l,r]$ 中出现正偶数次的数的个数。($1 \leq n,m \leq 10^5,512M$)

预处理出：$s[i][j]$ 为前 $i$ 块中 $j$ 出现的次数，$f[i][j]$ 为第 $i$ 块到第 $j$ 块中出现偶数次的数的个数。

P5048 Ynoi2019 模拟赛 Yuno loves sqrt technology III

题意：给你一个长为 $n$ 的序列 $a$，$m$ 次询问，每次查询一个区间的众数的出现次数，强制在线。($1 \leq n,m \leq 10^5,2S,62M$)

本题可以用蒲公英相同的思路解决。

其他分块练习题：

1.P5046 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology I

题意：给你一个长为 $n$ 的排列，$m$ 次询问，每次查询一个区间的逆序对数，强制在线。

2.P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

题意：给你一个长为 $n$ 的序列 $a$，$m$ 次询问，每次查询一个区间的逆序对数。

P6774 [NOI2020] 时代的眼泪

区间正序对加强版，分块+容斥

[P1494 国家集训队]小Z的袜子](https://www.luogu.com.cn/problem/P1494)

题意：给定一个长度为 $N$ 的序列，多次询问 $[l,r]$ 任意抽中两个相同的数概率。

分析：直接利用分块，会T掉，可以利用莫队。

单点移动需要计算，区间 $[l,r]$ 总共的方法数为 $C_{r-l+1}^2$。

抽中相同的方法数为 $sum$，$col[x]$ 表示 $x$ 的个数。

当新增 $x$ ,抽中相同的方法数 $sum+=col[x]$,然后 $col[x]++$.

当删除 $x$ ,先$col[x]++$， 相同的方法数 $sum-=col[x]$.

参考代码 ：点击